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산란 이론

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목차

1. 개요

산란 이론은 입자가 다른 입자 또는 물체와 충돌하여 궤도가 바뀌는 현상을 설명하는 이론이다. 이 이론은 크게 두 가지 접근법으로 나뉘는데, 하나는 정상 상태의 슈뢰딩거 방정식을 통해 산란을 분석하는 방법이고, 다른 하나는 시간 의존 슈뢰딩거 방정식을 사용하여 산란 과정을 전이 확률로 파악하는 방법이다. 산란 이론은 머핀-틴 포텐셜과 같은 특정 포텐셜 하에서의 전자 산란, 산란 진폭과 산란 단면적, T 행렬 등을 다루며, 탄성 산란과 비탄성 산란을 구분한다. 또한, 혼합된 표적과 범위 방정식과 같은 다양한 산란 현상을 연구하며, 음향학, 고전 전기역학, 입자물리학, 양자역학 등 다양한 분야에서 활용된다. 수학적으로는 미분 방정식의 해와 관련된 개념들을 추상적으로 다루며, 산란 행렬, 스펙트럼, 힐베르트 공간 등을 활용하여 산란 현상을 분석한다.

2. 산란 현상의 이론적 접근

산란 현상을 이론적으로 다루는 방법에는 크게 두 가지가 있다.

첫 번째는 정상 상태 접근법으로, 산란 과정이 정상 상태에 도달했을 때의 전체적인 모습을 고찰하는 방식이다. 이 접근법은 주로 탄성 산란(산란 전후 에너지가 변하지 않는 산란)을 다루는 데 사용된다.

두 번째는 시간 의존 접근법으로, 입자가 산란되는 과정을 시간의 흐름에 따라 추적하는 방식이다. 이 방법은 비탄성 산란 등 더 넓은 범위의 산란 현상을 다룰 수 있어 보다 일반적이며, S 행렬 이론이라고도 불린다.

2. 1. 정상 상태 접근법

산란 현상을 이론적으로 다루는 방법 중 하나이다. 예를 들어, 호스에서 나온 물이 산란체에 부딪혀 사방으로 흩어지는 현상을 생각해 볼 수 있다. 정상 상태 접근법은 물을 계속 흘려보내 전체 상황이 정상 상태에 도달했을 때, 그 모습을 마치 사진 한 장으로 전체 상황을 파악하는 방식과 같다.

이 방법은 주로 한 개 또는 두 개의 탄성 산란(산란 전후에 입자의 에너지가 변하지 않는 산란)을 다루는 데 사용된다. 분석 과정은 정상 상태의 슈뢰딩거 방정식을 산란 현상을 나타내는 특정 경계 조건 하에서 풀어서 산란 상태를 구하는 것이다.

여기서 중요한 점은, 이 문제가 단순히 해밀토니안의 고유값과 고유 벡터를 찾는 일반적인 문제와는 다르다는 것이다. 입사 입자의 에너지는 실험을 통해 미리 정해져 있으므로, 탄성 산란에서는 산란 상태의 에너지 고유값 E가 이미 주어진 값이다. 따라서 목표는 주어진 에너지 E에 해당하는 에너지 고유 상태를 찾는 것이 된다. 이는 자유 입자(산란 전 입사 상태)가 만족하는 에너지 고유 관계를 경계 조건으로 사용하여 미분 방정식을 푸는 과정이며, 이 과정에서 그린 함수를 사용하는 것이 유용하다.

슈뢰딩거 방정식의 해인 산란 상태는 입사하는 평면파와 밖으로 나가는 구면파의 중첩으로 나타낼 수 있다고 가정한다. 이 나가는 구면파의 진폭을 산란 진폭이라고 하며, 이 값을 결정함으로써 산란 단면적을 계산할 수 있다. 이러한 접근 방식은 고전적인 파동의 산란 문제를 다루는 방식과 본질적으로 유사하지만, 파동을 양자역학적인 확률 진폭으로 해석한다는 점에서 차이가 있다.

2. 2. 시간 의존 접근법 (S 행렬 이론)

산란 현상을 다루는 두 번째 방법은 시간에 따라 산란 과정이 어떻게 진행되는지를 추적하는 방식이다. 이 접근법은 산란을 입자가 초기 상태에서 최종 상태로 전이하는 과정으로 이해하며, 그 전이 확률을 시간 의존 슈뢰딩거 방정식을 이용하여 계산한다. 때로는 계산의 편의를 위해 슈뢰딩거 그림 대신 상호작용 그림을 사용하기도 한다. 이 방법은 양자역학의 관점에 더 가까우며, 탄성 산란뿐만 아니라 비탄성 산란처럼 산란 전후 입자의 에너지가 변하는 경우를 포함한 더 넓은 범위의 산란 현상을 다룰 수 있어 일반성이 높다. 이러한 이유로 이 접근법을 S 행렬 이론이라고도 부른다.

3. 포텐셜에 의한 전자 산란

전자가 원자핵이나 다른 전자 등에 의해 형성된 포텐셜 장을 통과할 때 경로가 바뀌는 현상을 산란(scattering)이라고 한다. 양자역학적으로 전자는 파동성을 가지므로, 포텐셜에 의한 산란은 파동이 회절하거나 반사되는 것과 유사하게 기술된다. 이러한 전자 산란 현상을 이해하는 것은 고체 물리학, 원자 물리학, 핵물리학 등 다양한 분야에서 중요하다.

전자 산란 문제를 이론적으로 다루기 위해 종종 단순화된 모델 포텐셜을 사용하는데, 그중 하나가 '''머핀-틴 포텐셜'''이다. 이는 원자핵 주변의 특정 반경 안에서는 구형 대칭 포텐셜이 작용하고, 그 바깥 영역에서는 포텐셜이 없다고 가정하는 모델이다. 이 모델을 사용하면 전자의 거동을 기술하는 슈뢰딩거 방정식을 영역별로 나누어 풀 수 있다.

슈뢰딩거 방정식의 해, 즉 전자의 파동 함수는 포텐셜이 없을 때와 비교하여 위상이 변하게 되는데, 이를 '''위상차'''(phase shift)라고 한다. 위상차는 포텐셜의 종류와 입사하는 전자의 에너지에 따라 달라지며, 산란 현상의 중요한 정보를 담고 있다.

산란의 결과를 정량적으로 나타내는 물리량으로는 '''산란 진폭'''(scattering amplitude)과 '''산란 단면적'''(scattering cross-section)이 있다. 산란 진폭은 특정 방향으로 산란되는 파동의 진폭과 위상을 나타내는 복소수이며, 이 값의 절댓값 제곱은 해당 방향으로 산란될 확률에 비례하는 '''미분 산란 단면적'''을 제공한다. 미분 산란 단면적을 모든 방향에 대해 적분하면 입사한 전자가 포텐셜에 의해 산란될 전체 확률을 나타내는 '''총 산란 단면적'''을 얻을 수 있다.

더 복잡한 산란 문제, 특히 여러 산란체에 의한 다중 산란을 다룰 때는 '''전이 연산자'''(T 연산자)와 이를 행렬 형태로 나타낸 '''T 행렬'''(Transition matrix)을 사용하는 것이 유용하다. T 행렬은 산란 전후의 상태 변화를 기술하며, 산란 진폭 및 위상차와 직접적으로 연결된다. 이러한 이론적 도구들을 통해 포텐셜에 의한 전자의 산란 과정을 상세하게 분석하고 예측할 수 있다.

3. 1. 머핀-틴 포텐셜

산란체가 단독으로 존재하는 (고립된) '''머핀-틴 포텐셜''' V_\mathrm{MT}(r)인 경우를 고려한다. 이는 중심력이 작용하는 구형 포텐셜을 가정하여 산란 문제를 단순화하는 모델이다. 수학적으로는 다음과 같이 정의된다.

:

V_\mathrm{MT}(r) =

\begin{cases}

V(r) & (r < r_\mathrm{MT}) \\

0 & (r > r_\mathrm{MT}) \\

\end{cases}



여기서 r_\mathrm{MT}는 구대칭 포텐셜 V(r)이 영향을 미치는 영역의 반지름으로, '머핀-틴 반지름'이라고 불린다. 장거리 상호작용의 포텐셜은 이 모델에서는 고려하지 않는다.

머핀-틴 포텐셜 하에서 전자에 대한 정상 상태의 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같이 두 영역으로 나누어 표현할 수 있다.

: \begin{cases}

[ - \nabla^2 + V(r) ] \Psi(\mathbf{r}) = \, {k_0}^2 \Psi(\mathbf{r}) & (r < r_\mathrm{MT}) \\

  • \nabla^2 \Psi(\mathbf{r}) = \, {k_0}^2 \Psi(\mathbf{r}) & (r > r_\mathrm{MT}) \\

\end{cases}

여기서 m은 전자의 질량, {k_0}^2 = E이며, E는 입사하는 입자의 에너지 고유값으로 이미 정해진 값이다. 계산의 편의를 위해 플랑크 상수를 조절하여 \hbar / 2m = 1로 설정한다. 이 미분 방정식을 풀면 산란 문제에 대한 해답을 얻을 수 있다.

파동 함수 \Psi(\mathbf{r})를 구면좌표계에서 각운동량 성분별로 분리하여 전개하면 다음과 같다.

:\Psi(\mathbf{r}) = \, \sum_l C_l \Phi_l (r) P_l (\cos \theta)

여기서 \Phi_l (r)는 동경 파동 함수(radial wave function)로, 원점으로부터의 거리 r에만 의존하며 l은 궤도 각운동량 양자수이다. C_l은 각 성분의 기여도를 나타내는 미정 계수이며, P_l (\cos \theta)는 l차 르장드르 다항식이다.

머핀-틴 반지름 바깥 영역, 즉 r > r_\mathrm{MT}인 경우 포텐셜이 0이므로, 동경 파동 함수 \Phi_l (r)는 다음 형태의 방정식을 만족한다.

:\frac{1}{r^2} \frac{d}{dr} \left( r^2 \frac{d \Phi_l}{dr} \right) + \left( {k_0}^2 - \frac{l(l+1)}{r^2} \right) \Phi_l = 0

이 방정식의 일반 해는 구 베셀 함수 j_l (k_0 r)와 구 노이만 함수 n_l (k_0 r)의 선형 결합으로 주어진다.

:\phi_l (r) = \, A j_l (k_0 r) + B n_l (k_0 r)

여기서 A와 B는 경계 조건에 의해 결정되는 임의의 계수이다.

머핀-틴 반지름 안쪽 영역(r < r_\mathrm{MT})의 해는 포텐셜 V(r)의 구체적인 형태에 따라 달라지며, 여기서는 상세히 다루지 않는다.

3. 2. 슈뢰딩거 방정식의 해

산란체가 단독으로 존재하는 (고립된) '''머핀-틴 포텐셜''' V_\mathrm{MT}(r)인 경우를 생각한다.

:

V_\mathrm{MT}(r) =

\begin{cases}

V(r) & (r < r_\mathrm{MT}) \\

0 & (r > r_\mathrm{MT}) \\

\end{cases}



여기서 r_\mathrm{MT}는 구대칭 포텐셜 V(r)이 미치는 영역의 반지름으로, 머핀-틴 반지름이라고 불린다. 장거리 상호작용의 포텐셜은 여기서는 고려하지 않는다.

머핀-틴 포텐셜 하에서의 전자에 대한 정상 상태의 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다.

: \begin{cases}

[ - \nabla^2 + V(r) ] \Psi(\mathbf{r}) = \, {k_0}^2 \Psi(\mathbf{r}) & (r < r_\mathrm{MT}) \\

  • \nabla^2 \Psi(\mathbf{r}) = \, {k_0}^2 \Psi(\mathbf{r}) & (r > r_\mathrm{MT}) \\

\end{cases}

여기서 m은 전자의 질량, {k_0}^2 = E이며, E는 입사 상태의 에너지 고유값으로 이미 주어진 값이다. 계산의 편의를 위해 \hbar / 2m = 1로 설정했다. 이 미분 방정식을 풀면 산란 문제를 해결할 수 있다.

파동 함수 \Psi(\mathbf{r})를 극좌표로 나타내면 다음과 같이 전개할 수 있다.

:\Psi(\mathbf{r}) = \, \sum_l C_l \Phi_l (r) P_l (\cos \theta)

여기서 \Phi_l (r)는 동경 파동 함수(r은 동경 좌표, l은 궤도 각운동량), C_l은 미정 계수, P_l (\cos \theta)는 l차 르장드르 다항식이다.

r > r_\mathrm{MT}인 영역에서 동경 파동 함수 \Phi_l (r)는 다음 미분 방정식을 만족한다.

:\frac{1}{r^2} \frac{d}{dr} \left( r^2 \frac{d \Phi_l}{dr} \right) + \left( {k_0}^2 - \frac{l(l+1)}{r^2} \right) \Phi_l = 0

이 방정식의 해는 다음과 같다.

:\phi_l (r) = \, A j_l (k_0 r) + B n_l (k_0 r)

여기서 A, B는 임의의 계수이며, j_l(x)는 구 베셀 함수, n_l(x)는 구 노이만 함수이다.

r < r_\mathrm{MT}인 경우의 해는 여기서는 다루지 않는다.

위의 해를 다음과 같이 변형할 수 있다.

:\begin{align}

\phi_l (r) &= A \{ j_l (k_0 r) - \tan \delta_l \cdot n_l (k_0 r) \} \\

\tan \delta_l &= -B/A

\end{align}

여기서 \delta_l을 '''위상차'''(phase shift)라고 한다. 이는 포텐셜(반드시 머핀-틴 형태일 필요는 없음)이 존재함으로써 발생하는 파동 함수의 위상 변화 효과를 나타낸다.

3. 3. 산란 진폭과 산란 단면적

z축 방향으로 입사하는 평면파가 산란을 일으키는 포텐셜 V(r)에 의해 산란되어 구면파 형태로 퍼져나가는 상황을 가정한다. 이때 산란 후 멀리 떨어진 지점에서의 전체 파동 함수 Ψ는 입사파와 산란파의 합으로 근사할 수 있다.

\Psi \sim e^{ik\mathbf{z} \cdot \mathbf{z}} + f(\theta) {e^{i\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} \over {r}}

위 식에서 첫 번째 항 e^{ik\mathbf{z} \cdot \mathbf{z}}는 입사하는 평면파를 나타내고, 두 번째 항 f(\theta) {e^{i\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} \over {r}}는 포텐셜에 의해 산란되어 나가는 구면파를 나타낸다.

여기서 f(\theta)는 '''산란 진폭'''(scattering amplitude)이라고 하며, 산란되는 파동이 특정 각도(θ) 방향으로 얼마나 강하게 나가는지를 나타내는 복소수 값이다. 산란 진폭은 산란될 확률의 크기와 위상 정보를 모두 포함한다. 슈뢰딩거 방정식의 해를 분석하여 산란 진폭을 구체적으로 계산하면, 다음과 같이 부분파(partial wave)들의 합으로 표현할 수 있다.

f(\theta) = {1 \over {k}} \sum_{l=0}^{\infty} (2l + 1) e^{i \delta_l} \sin \delta_l \cdot P_l (\cos \theta)

이 식에서 k는 입사파의 파수, l은 각운동량 양자수, δl은 각 l에 해당하는 부분파의 위상 변이(phase shift), Pl(cos θ)는 르장드르 다항식이다. 위상 변이 δl은 포텐셜 V(r)이 존재함으로써 각 부분파의 위상이 얼마나 변하는지를 나타낸다.

일반적으로 산란 진폭은 극각 θ뿐만 아니라 방위각 φ에도 의존하여 f(\theta, \phi)로 표현된다. 그러나 만약 산란을 일으키는 포텐셜이 구형 대칭(예: 머핀-틴 포텐셜)이라면, 산란 결과 역시 입사 방향(z축)에 대해 축대칭성을 가지므로 산란 진폭은 φ에 의존하지 않고 θ에만 의존하게 된다 (f(\theta)).

산란 진폭의 물리적 의미는 미분 산란 단면적(differential scattering cross-section), {d \sigma \over {d \Omega}}과의 관계에서 명확히 드러난다. 미분 산란 단면적은 단위 시간당 특정 방향(θ, φ)의 미소 입체각 dΩ 안으로 산란되는 입자의 수를 입사 입자 다발의 단위 면적당 입자 수(플럭스)로 나눈 값으로, 특정 방향으로 산란될 확률에 비례한다. 이 미분 산란 단면적은 산란 진폭의 절댓값 제곱과 같다.

{d \sigma \over {d \Omega}} = \, |f(\theta,\phi)|^2

따라서 산란 진폭 f(\theta,\phi)를 계산하면, 각 방향으로 입자가 산란될 확률 분포, 즉 미분 산란 단면적을 알 수 있다. 이는 산란 실험 결과를 이론적으로 예측하고 분석하는 데 핵심적인 역할을 한다. 미분 산란 단면적을 모든 입체각에 대해 적분하면 총 산란 단면적(total scattering cross-section) σ를 얻을 수 있으며, 이는 입사 입자가 산란될 전체 확률의 척도가 된다.

3. 4. T 행렬

다중 산란 이론 등에서 편리하게 사용하기 위해 전이 연산자 (T 연산자)를 도입한다.

:T = V + V G_0 V + V G_0 V G_0 V + \cdot \cdot \cdot

:G_0 =\, {1 \over {E - H_0 + i\epsilon}}

여기서 G_0는 자유 전자의 그린 함수, H_0는 자유 전자의 해밀토니안이다. \epsilon는 무한소의 수이다.

산란 진폭 f(\theta)는 전이 연산자를 입사 상태 \{|\mathbf{k}\rangle \}와 산란 상태 \

4. 여러 가지 산란

산란 현상은 상호작용하는 입자와 표적의 종류, 그리고 에너지 변화 여부 등 다양한 요인에 따라 여러 방식으로 분류하고 분석할 수 있다. 표적이 여러 종류의 산란체로 구성된 복잡한 경우 범위 방정식을 이용해 상호작용을 기술하며, 산란 전후 입자의 에너지 변화가 없는 탄성 산란과 에너지가 변하는 비탄성 산란으로 구분하기도 한다.

4. 1. 혼합된 표적과 범위 방정식

표적이 여러 종류의 산란체(혼합물)로 구성되어 조성을 알 수 없는 경우, 범위 방정식(Range equation)을 이용해 접근하는 것이 일반적이다. 예를 들어, 단위 시간당 단위 면적을 통과하는 입자의 수(플럭스)가 I인 산란되지 않은 빔이 표적 내부에서 상호작용하며 일정한 비율로 줄어든다고 가정하면, 이는 다음과 같은 식으로 표현할 수 있다.

: \frac{dI}{dx}=-QI \,\!

여기서 Q는 상호작용 계수이고, x는 빔이 표적을 통과한 거리이다.

이 1계 미분방정식의 해는 다음과 같다.

: I = I_o e^{-Q \Delta x} = I_o e^{-\frac{\Delta x}{\lambda}} = I_o e^{-\sigma (\eta \Delta x)} = I_o e^{-\frac{\rho \Delta x}{\tau}} ,

이 식에서 각 변수는 다음과 같은 의미를 가진다.

  • ''I''o: 초기 플럭스
  • Δx = x - ''x''o: 빔이 진행한 거리
  • λ: 빔이 매질 속에서 이동할 수 있는 평균자유행로
  • η: 단위 부피 내 표적 입자의 수
  • σ: 단면적
  • ρ: 표적의 질량 밀도
  • τ: 밀도 평균 자유 이동 경로


상호작용 계수 Q는 이 변수들과 다음과 같은 관계를 가진다.

: Q = \frac{1}{\lambda} = \eta\sigma = \frac{\rho}{\tau}

전자기 흡수 분광학에서는 상호작용 계수 Q를 비투과도(opacity), 흡광계수, 또는 감쇠계수라고 부른다. 전자현미경학에서는 λ를 비탄성 평균 자유 이동 경로[nm]로 사용한다. 핵물리학에서는 주로 단면적 σ나 밀도 평균 자유 이동 경로 τ를 사용하지만, 전자현미경학에서는 λ를 사용하는 것이 일반적이다.[2][3]

4. 2. 탄성 산란과 비탄성 산란

탄성 산란은 산란 과정에서 입자의 내부 상태가 변하지 않고, 따라서 입자가 가진 에너지도 변하지 않는 경우를 의미한다. 반면, 비탄성 산란은 산란 과정에서 입자의 내부 상태가 변화하는 경우이다. 이는 산란되는 입자의 전자가 들뜨거나, 심지어 산란되는 입자가 완전히 소멸하고 전혀 새로운 입자가 생성될 가능성까지 포함한다.

양자화학의 예를 통해 비탄성 산란을 더 쉽게 이해할 수 있다. 두 개의 원자가 서로 산란하는 상황을 생각해보자. 이 현상은 각 원자가 속박상태에 있을 때의 미분방정식의 해를 구함으로써 이해할 수 있다. 예를 들어, 전자기력의 인력을 받는 수소 원자에 대한 슈뢰딩거 방정식의 해를 생각할 수 있다. 두 개의 수소 원자가 서로 산란하면, 각 원자의 상태가 영향을 받아 불안정해질 수 있다. 이 결과로 하나 혹은 두 원자 모두 들뜬 상태가 되거나 이온화될 수 있는데, 이것이 바로 비탄성 산란의 한 예시이다.

입자물리학 분야에서는 Deep inelastic scattering|심부 비탄성 산란eng이라는 특수한 형태의 비탄성 산란이 중요하게 다뤄진다.

5. 이론물리학에서의 산란

수리물리학에서 산란 이론은 상호작용이나 편미분방정식의 해를 통해 산란 현상을 연구하는 데 사용된다.

다양한 물리 분야에서 산란 이론이 활용된다.


  • 음향학에서는 파동방정식을 통해 고체 목표물에 의한 산란이나 불균일한 매질을 지나는 음파의 움직임을 분석한다.
  • 고전 전기역학에서도 파동방정식을 이용하여 빛이나 전파의 산란 현상을 연구한다.
  • 입자물리 분야에서는 QED, QCD, 표준모형과 관련된 방정식을 풀어서 기본입자의 상호작용을 이해하는 데 산란 이론을 적용한다.


특히 양자역학에서는 슈뢰딩거 방정식을 비롯하여 이와 유사한 형태의 리프먼-슈윙거 방정식과 파디예프 방정식 등이 산란 문제를 다루는 데 중요하게 사용된다. 이러한 방정식들은 자유원자, 분자, 광자, 전자, 양성자와 같은 입자들이 서로 멀리 떨어져 있다가 접근하여 충돌하고, 경우에 따라 화학반응을 일으키거나 새로운 입자를 생성 또는 소멸시킨 후 다시 멀어지는 과정을 기술한다. 일상적인 상황에서는 주로 광자만이 생성과 소멸을 반복한다. 이 방정식들의 해를 구하면, 반응 결과 생성된 입자들이 어떤 경로로 얼마나 빠르게 움직이는지 예측할 수 있으며, 다양한 화학반응이나 붕괴 반응이 일어날 확률도 계산할 수 있다.

산란 문제의 해를 구하는 대표적인 방법으로는 부분파 방법과 보른 근사가 있다.

6. 수학적 기초

수학 분야에서 산란 이론은 앞서 설명된 개념들을 보다 추상적인 방식으로 다룬다. 예를 들어, 어떤 미분방정식이 간단하고 정규화된 해를 가지며, 이 해가 단일 매개변수에 의존하는 함수라고 가정해 보자. 이 매개변수를 시간으로 간주할 때, 만약 두 개의 해가 '먼 과거'에는 서로 매우 멀리 떨어져 있다가 서로에게 다가가 상호작용한 후, '먼 미래'에 다시 서로 멀어진다면 어떤 현상이 발생할까? 산란 행렬은 바로 이 '먼 과거'의 상태와 '먼 미래'의 상태를 연결해주는 수학적 도구이다.

미분방정식의 해는 종종 다양체의 형태를 띠는데, 이를 이해하기 위해서는 해당 다양체를 생성하는 연산자(생성자)의 스펙트럼을 분석해야 한다. 이러한 분석을 통해 얻어지는 해들은 대부분 힐베르트 공간과 동일한 스펙트럼을 가지거나, 힐베르트 공간 위에서 정의되는 산란 행렬과 유사한 형태를 보인다. 해의 스펙트럼은 크게 두 가지로 나눌 수 있는데, 연속 스펙트럼은 입자들이 자유롭게 흩어지는 산란 상태와 관련이 깊다. 반면, 불연속 스펙트럼은 양자역학에서 입자가 특정 에너지 상태에 묶여 있는 속박상태에 해당한다. 비탄성 산란에 대한 연구는 이러한 연속 스펙트럼과 불연속 스펙트럼이 어떻게 서로 혼합되는지에 대한 질문으로 이어진다.

이러한 수학적 접근법의 중요한 성과 중 하나는 역 산란 변환이다. 이는 특정 유형의 비선형 미분방정식들의 해를 정확하게 구할 수 있게 해주는 강력한 방법론으로, 해를 구할 수 있는 여러 모델들의 해법을 대표한다.

참조

[1] 서적 散乱の量子論 岩波書店
[2] 서적 Electron energy-loss spectroscopy in the electron microscope Plenum Press, NY
[3] 서적 Transmission electron microscopy: Physics of image formation and microanalysis Springer, Berlin


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